数学之美

最近网上最热议的无疑是任正非先生的谈话记录，任正非先生谆谆告诫我们，国家若要强盛，数学是基础。我想蹭点巨人的流量，忍不住写一篇短文，做点微弱的呼喊。

我显然没有能力深入讨论数学这座无比深奥、巨大、辉煌的人类思想宝库，只敢十分卑微地匍匐着看一下里面各种光彩夺目的结论。正因为如此，我愿意从宏观的视角来讨论一下数学的主要分布，从而消除大家由于过于敬畏而产生的害怕、甚至抗拒，引导大家欣赏数学之美，鼓励下一代献身数学。

数学有很多学派，研究方向就更多得不可胜数，但从流派来说大家比较接受的可以分为三类：逻辑主义、形式主义和直觉主义。如果这样说下去估计没有人再愿意看完这篇短文。我还是用我的理解，用最直白的语言，不十分准确地来描述三大流派主要想说什么东西，这些东西有多么重要。

首先数学想构建各种逻辑体系。去年我写过一篇短文《逻辑的力量》，讲到了逻辑思维有多么重要，一个完整的逻辑就是合理的假设——缜密的演绎——结论。西方人就是用这套思维体系构建了现代科学体系，《几何原本》是他们的第一个形式逻辑体系（我们到目前为止好像还没有构建出像样的逻辑体系哦），几千年来他们的思维模式一脉相承。逻辑思维是科学的基础，是创新的源泉，是理性的基础，是现代文明的基石。说他怎么重要都不为过。

这些数学家他们首先设定几个假设，然后进行推演，最后导出各种结论。《逻辑的力量》里讲过，平面几何就是很简单的五个关于点、线、面的公设。然后展开推理、证明，导出各种结论。在有限的二维空间范围内这些结论非常管用。但是世界毕竟不是无限延展的平面，黎曼几何描绘的是一个经过适当改进的球面，讲的是球面几何，当然就不会有平行线的假设。当然如果推广到无穷的宇宙，既不是平面也不是球面，罗巴切夫斯基又构建了罗氏几何。黎曼几何和罗氏几何就是今天我们所说的非欧几何，他们得到了与欧几里得的平面几何完全不一样的结论，但这三种几何又都是正确的，因为他们采用了不同的平行公理假设。

总之，逻辑数学就是数学家提出各种他们认为是合理的假设，通过推导和证明，得出结论。最后有一个最厉害的数学家哥德尔证明了这样的逻辑体系是可靠的，大家可以放心使用，从而奠定了数学中最牢靠的基础。

数学家构建种种形式逻辑体系，很多在当时是没有现实意义的，纯粹是一个形式上可以自圆其说的证明，有时候是为了自娱自乐。但是宇宙极其广大、世界无比精深，有时候在一个局部的领域，世界的构成恰好符合某个数学家构建逻辑假设前提，这时数学的威力就发挥作用了，只要现实世界的实际条件和逻辑数学的假设前提是一致的，现实世界就是按数学的推导演绎发展的。这一点让科学家无比兴奋，他们会感叹上帝啊，世界没有超出我们可以理解的范围！这类数学家是对人类社会贡献最大的人。

大家现在热议5G，都知道华为的技术牛，任正非说了我们是以土耳其科学家艾利坎的极化码编制理论的基础上发展起来的。艾利坎根据信息传输的极化现象，构建了这套编码理论，在理论上这样编码信号传输可以达到香农上限。这套理论非常完美，特殊情况下现实世界也正是按照数学家的理论运行的。当我们需要用毫米波用更高的频谱高速度大容量传输信号时，这套理论就有了用武之地。相反Turbo编码以及高通的LPDC编码由于其理论基础没有极化码编制理论那么完美，更多的是实践中不断完善的产物，从而限制了未来的应用空间。这事让特朗普很着急！

西方人不只是在数学，几乎在所有领域都用这套思维模式构建了种种理论和形式逻辑体系，套用最近流行的文章，现代社会的“根”真的不在我们这里。有时候我也很忧虑，我们不但缺少原创性的理论，而且我们的民族还没有认识到我们的真正的短板所在；我们的教育理论还没有认识到问题所在；逻辑学、通识教育依然不是我们小学的基础教材。

在五六十年代，中国曾经有过十年有关逻辑思维和辩证法的大讨论，毛主席十分支持和鼓励这场学说辩论，他本人学识丰富，喜欢各种哲学，对逻辑学充满好奇。他不无遗憾地指出“我们的党员研究哲学，就是不研究逻辑”。那段时期中国的形式逻辑研究也取得了丰硕的成果。遗憾的是，文革后斗争哲学取代了一切，以阶级斗争为纲。改革开放后来实用哲学又取代了所有，实践是检验真理的唯一标准。

其次是形式主义，很多数学家不关心逻辑的前提假设，他们陶醉于各种数学符号之间的运算，好像在说我才不管这个真实世界呢，我只关心数学符号和公式之间的对称。这类数学家非常重要，一般是由最有才华的人组成的。

前面我说过，逻辑是由假设、演绎、结论三部分组成的，这些形式主义数学家承担的是演绎工具的提供者。我们知道演绎的过程是等量置换和不等式交换的过程，比喻说A=B，那么A+C=B+C，A>B且B>C，那么A>C。演绎的过程基本上就是这样的过程，但是世界的等量关系不是这么容易被你发现的，深藏在事物表面的背后，有些真相甚至你明明看到了，但就是推导不过去、证明不了。这往往是因为数学工具不够用，这些数学家就创造大量计算推演工具。在数学大厦的建立中，只凭直觉和聪明是远远不够的，需要借助十分成熟的数学工具。就像制造一部高性能的手机，只凭心灵手巧是不够的，需要借助精密的工具才行。

这些数学家发明了微积分、解析几何、线性代数、高次方程的解决方案等等，他们用这些工具来解决计算和推导中的问题，让事物的关系和真相呈现出来。

逻辑主义和形式主义的划分只是我们从远距离看有这样的划分，实际上它们是交织在一起的，逻辑主义者发明和创造了很多演绎工具，很多形式主义者也构建了自己的逻辑体系。

第三是直观主义，他们更加强调事情的客观性以及结论的可验证性。这些数学家更多地是去寻找数学之间的客观规律。他们一般是由最聪明的人组成的。

比如大家熟悉的哥德巴赫猜想，任何一个大于2的偶数可以写成两个素数之和，到现在没法证明。

还有图论的四色定理，即平面上的地图都可以用四种颜色就可以标注，用数学语言描述就是：平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。到目前为止依靠计算机的算力，做了百亿次的判断才取得成功，但依然没有办法用严密的逻辑推理证明。可能还是使用的数学工具不够的缘故。

多少聪明的人在寻找数学规律的道理上，乐此不疲，他们需要拥有极高的天赋。我有一个十分优秀的同事，儿子年龄在上幼儿园大小的时候，有一次钻到玉米地里不肯出来了，出来时发现了每个玉米一圈的粒数都是偶数！

数学家们为人类找出了无数多的规律，特别是在自然数的领域。找出这些规律有什么用呢，掌握规律让我们极大地提高了对世界的认知能力，极大地提高了我们的生活工作效率。你只要沿着数学家找出的规律走，一定是正确的方向。

在这个领域，中国的数学家也有不俗的建树，说明我们中国人的聪明智商是够的。

数学的流派大概就分为这三种，这是后人远距离观察的结果。实际上数学的每一个分支和流派是交织在一起的，很多数学家都是通才，兼具各方面的能力，只是在某一方面的建树大一些。这样的划分这有点像佛教里的大乘、中乘和小乘。

我在网上摘抄了两段关于美学和审美的定义，不知道大家能不能看懂，反正我还是没有明白。

美学是从人对现实的审美关系出发，以艺术作为主要对象，研究美、丑、崇高等审美范畴和人的审美意识，美感经验，以及美的创造、发展及其规律的科学。 美学是以对美的本质及其意义的研究为主题的学科。

 美学是研究人与现实审美关系的学问。它既不同于一般的艺术，也不单纯日常的美化活动。 

讨论清楚美学和审美过程是一件较难的事情，每个人心中都有自己的审美，都是自己的美学家。审美无关对错，也不是富人或闲人的专利。英雄喜欢大风起兮，书生悲伤弱柳病梅，饿殍馋油水，饱汉闻肉腥。

但是美学和审美并不是完全不可认知的，是有规律可循的，总结起来我以为：美学是效率的表达，是效用的体现。

首先美学是效率的表达。世界万物的运行有自己内在的规律，这个规律就是一切事物，大到宇宙自然界、中到人类社会个体生命、小到微观世界的组成和结构，一切的一切都是向着效率最高的方向演进和进化，否则就会消失。一切东西如果自身没有进化到和周边环境最佳状态，是不可能长久的。科学家经常惊叹自然界的美丽和对称，感叹造物主的神奇，就是这个道理。所以美学首先要表达的是终极的效率，冗余臃肿的描述，是不可能有美学价值的。

其次，美学是效用的体现。审美首先是人的审美，必然会体现在实用价值上，就像老虎和你看一个美人的感觉应该是不同的。离开了实用价值，审美会变成无病呻吟。所以个人的审美会体现个人的效用，每个人都会欣赏自己需要的东西。群体审美会体现出群体的效用，群体会用道德和纪律来约束个体，以达到整体的效用最大。整个人类社会的审美必然体现出整个社会的效用，比如对诚信、良知的要求体现出普世价值，让人类社会可以高效运行并且长存。

大千世界不存在无缘无故的美，也不存在神秘不可知的美。棋琴书画、附庸风雅，可以作为一种美的表达方式，但你要是不喜欢也不必自愧。大美藏在大自然的规律之中，小美取决于个人的需求和爱好。  

谈到美学，大家一定会联想到黄金分割比例，这样的比例关系为什么是美的。找遍资料，理解最多的是认为人体的某些部位的比例呈现这个比例关系，所以它是美的。这个结论显然是因果倒置。其实黄金比例的美学含义并不神秘，它反映的是自然界以及人的实用和效率要求。一切有结构的东西，为了延续自己，必然会去复制自己。复制的过程最简单的方法就是保持原来的结构，而不是凭空创造一个，这样的效率是最佳的。比喻闪电的分支形状和开始时的形状是一致的，人类生命的遗传是拷贝的过程。这种相似性的结果是效率和实用的要求，你大概率会找和你长相差不多的伴侣，也希望孩子和自己长得一样。自我相似性就是黄金分割比例的本质。大家一定还记得黄金分割比例是怎么回事：一条长度为1的线段上取一点，分成不同的两部分，长的长度为a，短的长度就是1-a，现在要求1/a=a/(1-a)，这时a的长度为0.618。这个点分成两部分的比例和原来线段与较长线段的比例是一致的！正因为自我相似性体现了效率和实用，所以你觉得它好看。

通过前面的论述，我们不难看出，数学刻画了自然界最根本的运行规律。大到宇宙、小到微观，不同层面、不同规模的时空都有自身存在的前提条件，和这个条件制约下的运行规律。自然界的一切运行都是沿着最简约、最高效率的路线进行的。数学刻画的正是自然界不同层面的种种规律，是自然界运行极致效率的体现。

每一个层面的运行规律都可以用一个数学逻辑体系来表达，这个层面运行的制约条件就是逻辑体系的前提条件。反过来，数学家们凭空构造的逻辑体系和模型，基本上都可以在自然界中找到对应的体系（毕竟自然界极其庞大且复杂，人类能想到的东西宇宙早就具备了）。这是人类思维最奥秘和最吸引人的地方。数学是自然界运行规律最简约的表达方式。

数学的实用价值就不用多说了，一切现代的物质生活享受都基于数学。它是人类社会认识自然、利用自然最有力的武器！有了这个工具，人类社会才能够形成现在的局面。

你说数学美不美！

看到中国最成功的人说了数学很重要，数学老师挺直了腰杆，理所当然会要求学生多做数学题，家长也找到了理由，逼迫孩子学习奥数课，外面的培训机构更是跃跃欲试。我们习惯性地用这种实用的、短视思维来思考问题，这正是我们民族思维模式的短板所在，这样的思维模式很难培养出思想大家，很难会有创造性的思维。特别是奥数这门课，大多是一些解题的技巧，会严重制约孩子的创造性思维和推理性思维，只有极少部分孩子适合（大概5%左右）。我提两点建议，希望能引起大家的共鸣。

一是加强幼儿园、小学阶段的通识教育，就是说多学点常识性的知识。

我反复强调逻辑思维在创造中不可替代的作用，逻辑是大自然运行最基本的原则之一。但是任何逻辑体系需要前提假设，就像我们谈论问题总有一个前提一样，不然会变成胡搅蛮缠、不可理喻。可是逻辑的前提并不复杂，它只需要常识就够了。一个具备坚实常识的人，就不会迷失方向，就可以拥有巨大的创造力！

二是在小学阶段开设基础逻辑学课程。西方把逻辑学作为小学五门必选课之一。不知道出于什么考虑，我们的教育部门却视而不见。同时建议把辩证法的教育放到大学阶段才学习。辩证思维固然也是想描述人类社会和自然界的运行规律，但它更多地反应的是人类社会的运行法则，对大自然的描述是模糊的、不精确的。人生在成年以前是很难理解社会运行法则的，理解人类社会需要自身经验的积累和生活的体验。

一个民族要培养整体的逻辑思维的能力，估计需要经过几代人的努力，但是任何时候开始也都不算晚。中国人如果兼具了逻辑思维和辩证思维两种能力，在不同环境下可以自由切换，我们中华民族就会无敌于天下！

之所以在这里强调逻辑学，因为逻辑学就是数学，数学就是逻辑学。

2500年前，孔子看见麒麟出现于乱世，知道礼仪规范已经彻底沦丧，实力说话的战国拉开了序幕。今天霸权主义也撕掉了固有的国际准则，实力说话的时代开始了。现代社会说话的实力就是科技，数学是一切科技的基础，让我们重温七八十年代的口号，“学好数理化，走遍天下都不怕”。但愿下一代学了数理化的孩子，走上社会后不再遇上官倒、贪污、炒房、泡沫等经历，真正是学有所用，报效祖国，造福人类。

二零一九年五月二十八日